RESUMEN:
Los esfuerzos generados en los pavimentos de concreto tienen diferentes orígenes. Algunos se deben a las características mismas del concreto y se presentan como consecuencia de las reacciones del cemento con el agua y se conocen como esfuerzos de retracción por secado, otros esfuerzos que se presentan en las losas se deben a las cargas a que se ven sometidas durante la vida útil, otro tipo de esfuerzos son los que se presentan por los cambios térmicos y de humedad en las losas.
1. Introducción
Los esfuerzos generados por las cargas que solicitan los pavimentos son conocidos y muchos libros dedican varios capítulos a modelos que permitan calcular su magnitud. Los generados por las reacciones de fraguado se controlan durante la construcción con una adecuada modelación de las losas.
Los esfuerzos de alabeo también han sido estudiados pero su difusión en nuestro medio ha sido menor, a continuación se presentará una descripción de cómo se generan, cómo se calculan y finalmente que se debe hacer para controlarlos.
2. Esfuerzos debido al alabeo
Durante el día cuando la temperatura en la parte superior de la losa es más alta que en la inferior, la superficie superior tiende a expandirse con respecto al eje neutro mientras que la inferior tiende a contraerse. Sin embargo, el peso de la losa restringe tanto la expansión como la contracción; entonces, se inducen esfuerzos de compresión en la parte superior y de tracción en la inferior. En la noche cuando la temperatura en la parte superior de la losa es más baja que la de la inferior y así se inducen esfuerzos de tensión en la parte superior y de compresión en la inferior.
El análisis de los esfuerzos de alabeo se pueden hacer con la teoría de placa de sobre una fundación Winkler o líquida. Una fundación Winkler está caracterizada por una placa a la que están pegados una serie de resortes, tal como se muestra en la Figura 1.
Cuando la temperatura en la parte superior de la losa es más alta que la de la inferior la losa se vuelve convexa. En esa posición los resortes de los extremos de la losa están sometidos a compresión y empujan la losa hacia arriba, mientras que los que están en el interior de la losa están sometidos a tracción y halan la losa hacia abajo. El resultado de la anterior situación es que la parte superior de la losa está en compresión y la inferior en tracción.
Cuando la temperatura en la cara expuesta es más baja que la de la de apoyo, la losa asume una forma cóncava. En esta posición los resortes exteriores halan la losa hacia abajo y los resortes interiores empujan la losa hacia arriba, el resultado es que se desarrollan esfuerzos de tracción en la superficie superior y de compresión en la cara inferior.
Westergaard (1926) desarrolló las ecuaciones para determinar los esfuerzos por alabeo en los pavimentos de concreto basado en la teoría de placa. Esas ecuaciones no se muestran acá, pero se pueden consultar en las referencias 6.1 y 6.2.
3. Flexión en una placa infinita
La diferencia entre una viga y una placa radica en que la viga solo puede solicitarse en una sola dirección, mientras que la placa se puede solicitar en dos direcciones. La deformación -ex-cuando los esfuerzos actúan en dos direcciones se puede estimar con base en la ley de Hooke, (Ecuación 1). En esta ponencia se sigue el procedimiento descrito en la referencia 6.1.
En la cual E es el módulo elástico del concreto, hay que recordar que se está suponiendo una fundación que sigue las hipótesis de Winkler.
El primer término en el lado derecho de la ecuación 1 indica la deformación en la dirección x causada por los esfuerzos en la misma dirección, mientras que el segundo término indica los esfuerzos generados en la dirección
y. De manera análoga,
Cuando la placa se flexiona en la dirección x, -ey– podría ser igual a cero porque la placa a lo largo del borde tiene su movimiento muy restringido y cerca del borde no se presentan deformaciones. Igualando a cero la ecuación 2 se obtiene:
Sustituyendo la Ecuación 3 en la ecuación 1 y resolviendo para sx se obtiene:
La ecuación 4 permite calcular los esfuerzos generados por la flexión en la dirección x, mientras que la Ecuación 3 lo hace con los esfuerzos perpendiculares a la dirección de la flexión.
Cuando la flexión ocurre en ambas direcciones, como es el caso cuando las losas se alabean por temperatura, los esfuerzos en ambas direcciones se pueden sumar para obtener el esfuerzo total. El máximo esfuerzo en una losa de dimensiones infinitas debido al alabeo se puede calcular suponiendo que la losa está contenida en el plano xy.
Teniendo un gradiente de temperatura Dt entre las superficies superior e inferior de la losa y un coeficiente de expansión del concreto at, si la losa se puede mover libremente y la temperatura de la superficie es mayor que la del soporte, entonces la fibra superior se expande en una magnitud igual a (atDt/2) y la fibra inferior se encoge en la misma magnitud tal como se muestra en la figura 2.
Si la losa está restringida, para prevenir cualquier movimiento es necesario aplicar una deformación por compresión en la fibra superior y una de tracción con un valor de:
De la ecuación 4, el esfuerzo en la dirección x debido a la flexión en esa misma dirección es:
El esfuerzo total es la suma de la ecuación 6 y de ecuación 7
El anterior análisis se basa en la suposición de que la distribución de la temperatura el lineal en todo el espesor de la losa. Es una aproximación a la realidad debido a que la distribución de la temperatura no es exactamente lineal.
4. Esfuerzos de alabeo en losas finitas
La Figura 3 muestra una losa de dimensiones finitas, con longitud Lx en la dirección y longitud Ly en la dirección y
El esfuerzo total en la dirección x se puede expresar así:
En la Ecuación 9 Cx y Cy son dos factores de corrección para losas finitas. El primer término de esta ecuación es el esfuerzo debido a la flexión en la dirección x y el segundo corresponde al esfuerzo generado en la dirección y. De manera similar el esfuerzo en la dirección y es
Con base en el análisis de Westergaard, Bradbury, en el año 1938, desarrolló un ábaco para determinar los valores Cx y Cy. Ese ábaco se muestra en la Figura 4. Para mayor información sobre el desarrollo del ábaco se puede consultar la referencia bibliográfica 6.1.
El factor de corrección Cx depende del cociente entre la longitud de la losa en la dirección x –Lx– y el radio relativo de rigidez de la losa i. El factor Cy depende de la relación entre la longitud de la losa en la dirección y –Ly– y el radio relativo de rigidez de la losa i
En la cual E es el módulo de elasticidad del concreto, h el espesor de la losa y m el Módulo de Poisson y k es el módulo de reacción de la subrasante.
La ecuación 9 y la ecuación 10 permiten obtener el máximo valor de los esfuerzos en el centro de la losa.
Los esfuerzos de borde en el centro de la losa se pueden determinar con la siguiente ecuación
En la Ecuación 12 s puede ser -sx– o también -sy-dependiendo de si C es Cx o Cy. Hay que resaltar que la Ecuación 12 es similar a las Ecuaciones 9 y 10 cuando el Módulo Poisson en el borde es cero.
Se puede observar en la Figura 4 que el factor de corrección C se incrementa cuando lo hace la relación L/i, llega al valor de uno (1) cuando L=6,7i y alcanza el máximo valor de 1,084 cuando L=8,5i y decrece hasta uno (1) cuando la relación L/i tiende a infinito.
El hecho de que C pueda tener un valor mayor que la unidad se puede explicar por el hecho de que en losas cuya longitud supere 6,7i la reacción de la subrasante reverse ligeramente la curvatura que el alabeo por temperatura produce.
La relación entre C y L/i sigue la Ecuación 13 hasta cuando la relación L/i es de 8,5. Para efectos prácticos este es el rango de aplicación de C. La Ecuación 13 tiene un coeficiente de correlación R de 0,989
5. Determinación de la longitud de la losa
Teniendo en cuenta la Ecuación 12 se puede calcular el valor de C para unas condiciones de gradiente térmico -Dt-, coeficiente expansión del concreto -at-, Módulo de elasticidad del concreto –E- y de esfuerzo admisible en la losa s
El esfuerzo admisible se puede fijar para una condición alta de repeticiones de carga, por ejemplo de más de 500.000 repeticiones, valor en el cual el esfuerzo no debe ser mayor que la mitad del Módulo de rotura del concreto según lo expresa la ecuación de Minor
En la Ecuación 14, R es el número de repeticiones admisibles, s el esfuerzo generado en la losa y Mr el Módulo de rotura del concreto. La Ecuación 14 se obtiene al ajustar la tabla de Minor presentada en la referencia 3
Asumiendo que se desea construir un pavimento de concreto con las siguientes condiciones
Módulo de elasticidad del concreto –E- 230.000 kg/cm2
Esfuerzo generado en la losa -s- 20 kg/cm2
Módulo de rotura –Mr- 40 kg/cm2
Módulo de reacción de la subrasante –k- 5 kg/cm3
Gradiente térmico -Dt– 30°C
Coeficiente de expansión térmica -at 6,8*10-6
Espesor de la losa 20 cm
El valor de C para esas condiciones tiene un valor de 0,85 y en el ábaco se puede leer que para ese valor la relación L/i es de 5,6 de manera que la longitud de la losa no debe superar 5,6 veces el Radio relativo de rigidez, el cual se definió en la Ecuación 11
Hay que tener en cuenta que los esfuerzos que se generan en las losas tienen múltiples orígenes y a los de alabeo se les debe sumar los generados por las cargas.
El valor que toma el coeficiente de expansión térmica at depende de las características del concreto, especialmente en lo que se refiere al origen geológico de los agregados, para mayor información se puede consultar la referencia bibliográfica 6.4.
Al aplicar la Ecuación 11 en repetidas ocasiones para diferentes condiciones normales y frecuentes de soporte, de espesores de losa y gradientes térmicos se observa que la relación entre la longitud de la losa y su radio relativo de rigidez, oscila entre valores comprendidos entre 4,0 y 5,5.
Correspondiendo el menor valor a gradientes térmicos grandes, mientras que el valor grande del rango corresponde a menores gradientes. La PCA en su programa de diseño incorpora un valor de L/i igual a 5,5 dicho valor está por el lado de la seguridad para gradientes térmicos, menores que 20°C pero es riesgoso para valores superiores a ese valor.
Cuando se tienen dudas acerca de cuál valor asumir, la prudencia aconseja tomar un valor bajo, o hacer mediciones de gradientes térmicos en pavimentos existentes en la zona en la que se construye el pavimento.
En las mediciones de gradientes térmicos se ha encontrado que en condiciones normales estos oscilan entre 0,05 y 0,08 °C por milímetro de espesor de losa. En pavimentos de concreto de 25 cm de espesor el gradiente entre la cara superior de la losa y su soporte oscila normalmente entre 12,5 y 20 °C, con lo cual se verifica que la suposición de la PCA está por el lado de la prudencia para la mayoría de los casos normales.
Un punto que es importante resaltar es el del significado del módulo de reacción de la subrasante -k- pues como se ve en la Ecuación 11 ese valor va en el denominador, lo que implica que en el momento de calcular la longitud de las losas, estas deberán ser más cortas en la medida en que la capacidad de carga del suelo vaya en aumento. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se construyen pavimentos de concreto sobre bases estabilizadas o sobre pavimentos existentes.
Para controlar los esfuerzos por temperatura, el diseñador disminuye la longitud de losa.
6. Ecuación de Weestergard
La ecuación desarrollada por Weestergard y en la que se basó Bradubury para desarrollar el ábaco con el que se determina C es la siguiente
En donde
Siendo b el ancho de la losas.
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Nota aclaratoria de responsabilidad: Las observaciones contenidas en este documento son de carácter informativo y deben ser aplicadas y/o evaluadas por el constructor o usuario solamente en caso de considerarlas pertinentes. Por lo tanto, estas observaciones no comprometen a Argos, a sus filiales o a sus subordinados.
“En pavimentos de concreto de 25 cm de espesor el gradiente entre la cara superior de la losa y su soporte oscila normalmente entre 12,5 y 20 °C, con lo cual se verifica que la suposición de la PCA está por el lado de la prudencia para la mayoría de los casos normales”.
CONCLUSIÓN
En los diseños de pavimentos de concreto se trabaja con losas cortas, con lo que se controlan los esfuerzos por temperatura, pudiendo así hacer el análisis de los esfuerzos generados por los vehículos de forma independiente de las condiciones térmicas a las que se verán sometidas las losas.
